Tìm m để hàm số y = {x^3} + 3m{x^2} + 3({m^2} - 1)x + {m^3} đạt cực tiểu tại điểm x=0

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6mx + 3({m^2} - 1).\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Rightarrow y'(0) = 0 \Leftrightarrow 3({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1.\)

Nếu m=-1 thì \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc x=2

\(y' > 0 \Leftrightarrow x < 0\) hoặc x > 0 và \(y' < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2.\)

Vì vậy tại x=0 hàm số đạt giá trị cực đại.

Nếu m=1 thì \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc x=-2

\(y' > 0 \Leftrightarrow x <  - 2\) hoặc x > 0 và \(y' < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 0.\)

Vì vậy tại x=0 hàm số đạt giá trị cực tiểu

Vậy m=1 là giá trị cần tìm.