Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân công là?

Gọi \(h\) là chiều cao của bể chứa. Đáy hồ có chiều rộng là x và chiều dài là 2x.

Theo giả thiết ta có \(V = \dfrac{{500}}{3} = h.x.\left( {2x} \right) = 2{x^2}h \Rightarrow h = \dfrac{{250}}{{3{x^2}}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right).\)

Do bể chứa không nắp nên chi phí thuê nhân công chính là chi phí thuê nhân công để xây dựng mặt đáy với các mặt xung quanh.

Diện tích mặt đáy là \(x.\left( {2x} \right) = 2{x^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{m^2}} \right).\)

Có \(4\) mặt xung quanh với tổng diện tích là \(h.x + h.\left( {2x} \right) + h.x + h\left( {2x} \right) = 6xh.\)

Do đó tổng diện tích mặt xung quanh với mặt đáy là \(S\left( x \right) = 2{x^2} + 6xh{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right).\)

Để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta cần tìm cực trị của hàm \(S\left( x \right).\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta nhận được

\(S\left( x \right) = 2{x^2} + 6x.\dfrac{{250}}{{3{x^2}}} = 2{x^2} + \dfrac{{500}}{x}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\left( {2{x^2};\dfrac{{250}}{x};\dfrac{{250}}{x}} \right)\) ta  nhận được

\(S\left( x \right) = 2{x^2} + \dfrac{{250}}{x} + \dfrac{{250}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\dfrac{{250}}{x}.\dfrac{{250}}{x}}} = 3\sqrt[3]{{2.250.250}} = 150.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(2{x^2} = \dfrac{{250}}{x} \Leftrightarrow x = 5.\) Khi đó chi phí thuê nhân công là \(150 \times 100.000 = 15.000.000\) (đồng).

Đáp án là A.