Tìm để phương trình ​\({x^2} + 5x + 3m - 1 = 0\left( x \right.\) là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn .

 \(\Delta = {5^2} - 4.1 \cdot (3m - 1) = 29 - 12m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  \(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{29}}{{12}}\\ \end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} + {x_2} = - 5}\\ {{x_1}{x_2} = 3m - 1} \end{array}} \right.\)

Từ đề bài ta có

\(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\\ \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\\ \Leftrightarrow 25\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right){x_1}{x_2} + 3{x_1}{x_2} = 75\\ \Rightarrow {x_1} - {x_2} = 3\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} = 3\\ {x_1} + {x_2} = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = - 4 \end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l} {x_1}.{x_2} = 3m - 1\\ \Leftrightarrow 4 = 3m - 1\\ \Leftrightarrow m = \frac{5}{3}\left( {nhan} \right) \end{array}\)