Cho biết có phương trình \(x^{2}+a x+b+1=0\) với a,b là tham số. Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt ​\(x_{1}, x_{2}\) thoả mãn điều kiện \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}=3 \\ x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=9 \end{array}\right.\)

 \(\text { Phương trình có hai nghiệm phân biệt } x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow \Delta=a^{2}-4(b+1)>0\)

\(\begin{aligned} &\text { Khi đó theo định lý Vi-et, ta có }\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-a \\ x_{1} x_{2}=b+1 \end{array}\right.(1)\\ &\text { Bài toán yêu cầu }\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}=3 \\ x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=9 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}=3 \\ \left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right)^{3}+3 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right)=9 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}=3 \\ x_{1} x_{2}=-2 \end{array}\right.\right.\right.(2)\\ &\text { Từ hệ }\\ &\text { (2) ta có: }\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+4 x_{1} x_{2}=3^{2}+4(-2)=1, \text { kết hợp với (1) được }\\ &\left\{\begin{array}{l} a^{2}=1 \\ b+1=-2 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a=1, b=-3 \\ a=-1, b=-3 \end{array} .\right.\right. \end{aligned}\)

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.