Cho biết có phương trình:\(\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{~m} \mathrm{x}-6 \mathrm{~m}=0(1)\) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia?

Phương trình (1) có hai nghiệm 

\(\begin{array}{r} \Leftrightarrow \Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow \mathrm{m}^{2}+6 \mathrm{~m} \\ \Leftrightarrow \mathrm{m} \leq-6 ; \mathrm{m} \geq 0(2) \end{array}\)

\(\text { Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: }\left\{\begin{array}{l} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=2 \mathrm{~m} \\ \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=-6 \mathrm{~m} \end{array}\right.(3)\)

Phương trình có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi: 

\(\begin{array}{l} \mathrm{x}_{1}=2 \mathrm{x}_{2} ; \mathrm{x}_{2}=2 \mathrm{x}_{1} \Leftrightarrow\left(\mathrm{x}_{1}-2 \mathrm{x}_{2}\right)\left(\mathrm{x}_{2}-2 \mathrm{x}_{1}\right)=0 \Leftrightarrow 5 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}-2\left(\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}\right)\\ \Leftrightarrow 5 x_{1} x_{2}-2\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right]=0 \Leftrightarrow 9 x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}=0(4) \end{array}\)

\(\text { Từ }(3),(4), \text { ta có: }-54 \mathrm{~m}-8 \mathrm{~m}^{2}=0 \Leftrightarrow \mathrm{m}=0 ; \mathrm{m}=-\frac{27}{4}(\operatorname{TMĐK}(2))\)

\(\text { Vậy các giá trị } m \text { cần tìm là } \mathrm{m}=0 ; \mathrm{m}=-\frac{27}{4} \text { . }\)