Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. có đáy là tam giác đều cạnh a hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC

Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có $A'G \bot BC$ và $AM \bot BC$ do đó $BC \bot \left( {A'AM} \right).$ 

Từ M dựng $MH \bot AA'$ suy ra MH là đoạn vuông góc chung của BC và AA’ Suy ra $MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$

Do đó $d\left( {G;AA'} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M;\left( {AA'} \right)} \right) \ (do \ GA = \frac{2}{3}MA)$

$= \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = d \Rightarrow \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{G{A^2}}} + \frac{1}{{A'{G^2}}} \Rightarrow A'G = \frac{a}{3}$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$