Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (7-3sqrt5)^(x^2)+m(7+3sqrt5)^(x^2)=2^(x^2-1) có đúng hai nghiệm phân biệt

${\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}$

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {\frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} = \frac{1}{2}$

Đặt: $t = {\left( {\frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} \in \left( {0;1} \right]$

Khi đó BPT trở thành: $2{t^2} - t + 2m = 0 \Leftrightarrow 2m = t - 2{t^2} = g\left( t \right)$ (1).

Ta có $g'\left( t \right) = 1 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}$.

Bảng biến thiên:

PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt khi (1) có đúng 1 nghiệm $t \in \left( {0;1} \right)$

Điều này xảy ra khi: $\left[ \begin{array}{l} 2m = \frac{1}{8}\\ - 1 < 2m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{1}{{16}}\\ - \frac{1}{2} < m \le 0 \end{array} \right.$.