Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {4^x} + (1-3m){2^x} + 2{m^2} - m = 0 có nghiệm

Xét phương trình \({4^x} + \left( {1 - 3m} \right){2^x} + 2{m^2} - m = 0\left( 1 \right)\)

Đặt  \(t = {2^x},\,t > 0.\)

Phương trình (1) trở thành  \({t^2} + \left( {1 - 3m} \right)t + 2{m^2} - m = 0\left( 2 \right)\)

\(\begin{array}{l} \Delta = {(1 - 3m)^2} - 4(2{m^2} - m)\\ = 1 - 6m + 9{m^2} - 8{m^2} + 4m\\ = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}. \end{array}\)

Suy ra phương trình (2) luôn có 2 nghiệm \(x = m;\,x = 2m - 1,\forall m.\)

Phương trình (1) có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm t>0.

Từ đó suy ra \(\left[ \begin{array}{l} m > 0\\ 2m - 1 > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m \in \left( {0; + \infty } \right).\)