Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R tìm h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất

Câu hỏi:
Cho mặt cầu (S) bán kính R. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.
- A. \(h = \frac{R}{2}\)
- B. \(h =R\)
- C. \(h =R\sqrt{2}\)
- D. \(h =\frac{R\sqrt{2}}{2}\)
Đáp án đúng: C

Ta có: \({r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = {R^2}\)

Diện tích xung quanh của trụ \({S_{xq}} = 2\pi rh\)

Lại có \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} \ge 2\sqrt {{r^2}.\frac{{{h^2}}}{4}} = rh = \frac{{{S_{xq}}}}{{2\pi }} \Rightarrow 2\pi {R^2} \ge {S_{xq}}\)

Do đó \({S_{xq}}\) lớn nhất khi \(r = \frac{h}{2} \Rightarrow {R^2} = \frac{{{h^2}}}{2} \Rightarrow h = R\sqrt 2\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải!

YOMEDIA