Mặt phẳng đi qua A(2;3;1) và giao tuyến của hai mặt phẳng (x + y = 0) và (x - y + z + 4 = 0) có phương trình là:

Tập hợp các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 0\\
x - y + z + 4 = 0
\end{array} \right.\)

Lấy điểm \(B\left( {0;0; - 4} \right),\,\,C\left( {1; - 1; - 6} \right)\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Khi đó:

\(\overrightarrow {AB} \left( { - 2; - 3; - 5} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 1; - 4; - 7} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 9;5} \right)\)

Mặt phẳng đi qua A và giao tuyết của hai mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 9;5} \right)\) làm một VTPT nên có phương trình là: \(x - 9y + 5{\rm{z}} - 20 = 0.\)