Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x(cm), chiều cao là h(cm) và có thể tích là 256 cm^3

Thể tích của hợp là: \(V = {x^2}.h = 256(c{m^3}) \Rightarrow h = \frac{{256}}{{{x^2}}},x > 0.\)

Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là:

\(S = {x^2} + 4hx = {x^2} + 4x.\frac{{256}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{1024}}{x}\)

Xét hàm số \(S(x) = {x^2} + \frac{{1024}}{x}\) với x > 0.

Ta có: \(S'(x) = 2x - \frac{{1024}}{{{x^2}}},S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 8.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy diện tích của mảnh các tông nhỏ nhất bằng \(192c{m^2}\), đạt được khi x=8 (cm)