Hãy tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho

Theo định lý Talet ta có \(\frac{{SO'}}{{SO' + x}} = \frac{{h - x}}{h} = \frac{{r'}}{r}\left( {0 < x < h} \right)\)

Thể tích hình trụ là \(V = \pi r{'^2}x = \pi \frac{{{{\left[ {\left( {h - x} \right)r} \right]}^2}}}{{{h^2}}}.x\)

Vì thể tích khối nón không đổi nên để phần thể tích phần không gian nằm phía trong (N) nhưng phía ngoài của (T) đạt giá trị nhỏ nhất thì thể tích hình trụ là lớn nhất.

Xét \(M\left( x \right) = x{\left( {h - x} \right)^2}\)

Ta có \(M\left( x \right) = 4.\frac{{h - x}}{2}.\frac{{h - x}}{2}x \le 4{\left( {\frac{{\frac{{h - x}}{2} + \frac{{h - x}}{2} + x}}{3}} \right)^3} = \frac{{4{h^3}}}{{27}}\)

Dấu bằng xảy ra khi: \(\frac{{h - x}}{2} = x \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}.\)