Cho một tam giác đều ABC cạnh 6cm ngoại tiếp hình tròn tâm O

Tam giác đều ABC có AM là đường cao

\( \Rightarrow \) AM đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow \) M là trung điểm của BC

\( \Rightarrow BM = MC = \frac{{BC}}{2} = 3(cm)\)

Xét tam giác AMC vuông tại M có: \(AM = AC.sinC = 6.sin{60^0} = 3\sqrt 3 \,(cm)\)

Vì O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều nên nó vừa là trực tâm vừa là trọng tâm.

\( \Rightarrow OM = \frac{1}{3}.AM = \frac{1}{3}.3\sqrt 3  = \sqrt 3 (cm)\)

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là \(R = OM = \sqrt 3 \,(cm)\)

Mà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là bán kính khối cầu nên ta có thể khối cầu là: \({V_C} = \frac{4}{3}.\pi .{R^3} = \frac{4}{3}.\pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} = 4\sqrt 3 \pi (c{m^3})\)

Thể tích khối nón là:

\({V_N} = \frac{1}{3}.\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}.\pi .B{M^2}.AM = \frac{1}{3}.\pi {.3^2}.3\sqrt 3  = 9\sqrt 3 .\pi (c{m^3})\)

Thể tích phần khối nón bên ngoài khối cầu là: \(9\sqrt 3 .\pi  - 4\sqrt 3 .\pi  = 5\sqrt 3 .\pi \,\,(c{m^3})\)