Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \({x^2} + (2 - m)x - 1 - m = 0\) (m là tham số).

Phương trình: \({x^2} + (2 - m)x - 1 - m = 0\) (m là tham số).

Xét \(\Delta  = {(2 - m)^2} - 4( - 1 - m) = 4 - 4m + {m^2} + 4 + 4m = {m^2} + 8 > 0{\rm{ }}\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m - 2\\
{x_1}{x_2} =  - 1 - m
\end{array} \right.\)

a) 

\(\begin{array}{l}
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 8\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4( - 1 - m) = 8 \Leftrightarrow {m^2} + 8 = 8 \Leftrightarrow m = 0
\end{array}\)

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

b) 

\(\begin{array}{l}
T = \frac{1}{{{{({x_1} + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{({x_2} + 1)}^2}}} = \frac{{{{({x_1} + 1)}^2} + {{({x_2} + 1)}^2}}}{{{{({x_1} + 1)}^2}{{({x_2} + 1)}^2}}} = \frac{{x_1^2 + 2{x_1} + 1 + x_2^2 + 2{x_2} + 1}}{{{{({x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1)}^2}}}\\
 = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 2}}{{{{({x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1)}^2}}} = \frac{{{{(m - 2)}^2} - 2( - 1 - m) + 2(m - 2) + 2}}{{{{( - 1 - m + m - 2 + 1)}^2}}}\\
 = \frac{{{m^2} - 4m + 4 + 2 + 2m + 2m - 4 + 2}}{{{{( - 2)}^2}}} = \frac{{{m^2} + 4}}{4} \ge \frac{4}{4} = 1
\end{array}\)

Vậy \(\min T = 1\) tại m = 0.