Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a.

a) Ta có: \(OM\bot JM\) (JM là tiếp tuyến của (O))

                \(NK\bot JM\) (K là trực tâm của \(\Delta JMN\))

\( \Rightarrow \) OM // NK

Chứng minh tương tự được ON // MK

\( \Rightarrow \) OMKN là hình bình hành

Hình bình hành OMKN có hai đường chéo OK và MN cắt nhau tại H

\( \Rightarrow \) H là trung điểm của OK.

b) Hình bình hành OMKN có OM = ON = a nên là hình thoi

\( \Rightarrow \) OM = MK \( \Rightarrow \Delta OMK\) cân tại M

\(\Delta OMJ\) vuông tại M, có:

\(\cos \widehat {MOJ} = \frac{{OM}}{{OJ}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {MOJ} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \Delta OMK\) là tam giác đều

\( \Rightarrow OK = OM = a \Rightarrow K \in \left( {O;a} \right)\)

c) \(\Delta OMH\) vuông tại H

\( \Rightarrow MH = OM.\sin \widehat {MOH} = a.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) hay \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

d)

Giả sử IA, IB là các tiếp tuyến của (O) với A, B là các tiếp điểm

* Phần thuận:

Tứ giác IAOB có \(\widehat {AIB} = \widehat {IAO} = \widehat {IBO} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật

Lại có OA = OB = a \( \Rightarrow\) IAOB là hình vuông

\( \Rightarrow OI = OA.\sqrt 2  = a\sqrt 2  \Rightarrow I \in \left( {O;a\sqrt 2 } \right)\) 

* Phần đảo:

Lấy điểm \(I \in \left( {O;a\sqrt 2 } \right)\) thì \(IO = a\sqrt 2 \)

\(\Delta OAI\) vuông tại A \( \Rightarrow IA = \sqrt {O{I^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {a^2}}  = \sqrt {{a^2}}  = a\)

Tương tự tính được IB = a

\( \Rightarrow \) IA = IB = OA = OB = a

\( \Rightarrow \) Tứ giác IAOB là hình thoi

\(\Rightarrow \widehat {AIB} = {90^0}\)

* Kết luận: Tập hợp điểm I cần tìm là đường tròn \(\left( {O;a\sqrt 2 } \right)\).