-
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi\((P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (với \(a > 0,b > 0,c > 0\)) là mặt phẳng đi qua điểm \(H(1;1;2)\) và cắt \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\)sao cho khối tứ diện \(OABC\) có thể tích nhỏ nhất. Tính \(S = a + 2b + c\).
- A. \(S = 15\).
- B. \(S = 5\).
- C. \(S = 10\).
- D. \(S = 4\).
Đáp án đúng: A
Ta có: \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) và \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc\).
Vì \(H \in (P)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\) (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{b}\) và \(\frac{2}{c}\), ta có:
\({\left( {\frac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c}}}{3}} \right)^3} \ge \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{2}{c}\) (2) (dấu “=” xảy ra khi \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\))
Từ (1) và (2), suy ra \(abc \ge \frac{2}{{27}}\), hay \(V \ge \frac{4}{9}\); \(V = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\), suy ra \(a = b = 3,c = 6\)(do (1)).
Vậy: \(S = a + 2b + c = 15\)
YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (MNP) biết M, N, P là hình chiếu vuông góc của A lên Ox, Oy, Oz
- Viết phương trình mặt phẳng qua AB và song song với CD biết A(5;1;3); B(1;6;2); C(5;0;4); D(4;0;6)
- Mặt phẳng đi qua A(2;3;1) và giao tuyến của hai mặt phẳng (x + y = 0) và (x - y + z + 4 = 0) có phương trình là:
- Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P):x-y+3=0
- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt cấc trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức T=1/OA^2+1/OB^2+1/OC^2 có giá trị nhỏ nhất
- Tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d biết A(1;2;0) và đường thẳng d:x+1/2=y/1=z−1/−1.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ({d_1}:frac{{x - 2}}{1} = frac{{y - 1}}{{ - 1}} = frac{z}{2}) và
- Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): x/3+y/2+z/1=1.
- Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng (P):x+y-z-2=0 và (Q):x+3y-12=0.
- Tìm VTPT mặt phẳng (ABC) biết A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-5