Giả sử p và q là các số thực dương sao cho {log _9}p = {log _{12}}q = {log_16}(p+q)

Đặt \(t = {\log _9}p = {\log _{12}}q = {\log _{16}}(p + q)\) thì ta có:

\(p = {9^t};\,q = {12^t};{16^t} = p + q = {9^t} + {12^t}(1)\)

Chia 2 vế của (1) cho  ta được: \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2t}} = 1 + {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t}\,(2)\)

Đặt \(u = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{q}{p} > 0,\) phương trình (2) trở thành:

\({u^2} - u - 1 = 0 \Leftrightarrow u = \frac{1}{2} \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\) do u>0

Suy ra: \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right).\)