Giả sử \(m=-\frac{a}{b},a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}},\left( a,b \right)=1\) là giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:y=-3x+m cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng \(\Delta :x-2y-2=0\) với O là gốc tọa độ. Tính a+2b.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:

\( \begin{align} & \frac{2x+1}{x-1}=-3x+m,\left( x\ne 1 \right)\Leftrightarrow 2x+1=\left( x-1 \right)\left( -3x+m \right) \\ & \Leftrightarrow 2x+1=-3{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-m\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m+1=0\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\ {{{3.1}^2} - \left( {m + 1} \right).1 + m + 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0}\\ {3 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 11} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 1}\\ {m > 11} \end{array}} \right.\)

Giả sử \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là nghiệm của (*) \(\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3}\)

Tọa độ giao điểm \(A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) do \(A,B\in d\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{y}_{1}}=-3{{x}_{1}}+m \\ {{y}_{2}}=-3{{x}_{2}}+m \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2m=-3.\frac{m+1}{3}+2m=m-1\)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB: \(G\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+0}{3};\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+0}{3} \right)\) hay \(G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right)\)

Do \(G\in \Delta :x-2y-2=0\Rightarrow \frac{m+1}{9}-2.\frac{m-1}{3}-2=0\Leftrightarrow m+1-6m+6-18=0\Leftrightarrow -\frac{11}{5}\)

\(\Rightarrow a=11;b=5\Rightarrow a+2b=21.\)