Đối với hàm số \(y=\frac{mx-1}{x+2}\) có đồ thị \(({{C}_{m}})\) (m là tham số). Với các giá trị nào của m thì đt y = 2x – 1 cắt đồ thị \(({{C}_{m}})\) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho \(AB=\sqrt{10}\)?

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C}_{m}} \right)\) và đường thẳng là:

\(\frac{{mx - 1}}{{x + 2}} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx - 1 = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\\x \ne  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - \left( {m - 3} \right)x - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\\x \ne  - 2\end{array} \right.\,.\,\)

Ta có: \(\Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}-4.2.\left( -1 \right)={{\left( m-3 \right)}^{2}}+4>0\)nên phương trình \(\left( 1 \right)\) đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Giả sử hai nghiệm này là \({{x}_{1}},{{x}_{2}}.\)

Ta có: \(2.{{\left( -2 \right)}^{2}}-\left( m-3 \right).\left( -2 \right)-1=0\Leftrightarrow 8+2m-6-1=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}.\)

Do đó để \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt và khác \(-2\) thì \(m\ne -\frac{1}{2}.\)

Giả sử \(A\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}-1 \right),\,B\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}-1 \right)\) là hai giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Khi đó ta có:

\(A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( 2{{x}_{1}}-1 \right)-\left( 2{{x}_{2}}-1 \right) \right]}^{2}}=5{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=5{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-20{{x}_{1}}{{x}_{2}}\,\,\left( 2 \right).\)

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m-3}{2},\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{2}\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta nhận được:

\(10=5{{\left( \frac{m-3}{2} \right)}^{2}}-20.\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{5}{4}{{\left( m-3 \right)}^{2}}+10\Leftrightarrow m=3\ne -\frac{1}{2}.\)

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m=3.\)

Chọn đáp án D.