Cho hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-1}\) có đồ thị (C), đường thẳng \(y=2x+m\) tiếp xúc với (C) khi nào?

Điều kiện \(x\ne 1.\)

Để \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \(y=2x+m\) tại điểm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì phương trình sau có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_0}} \right) = 2\\\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 1}} = 2{x_0} + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 2\\\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 1}} = 2{x_0} + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 1\\{x_0} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 1\end{array} \right.\\2 - \frac{1}{{{x_0} - 1}} = 2{x_0} + m\end{array} \right..\)

Ta có: \({x_0} = 1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow m = 2\left( {1 - {x_0}} \right) - \frac{1}{{{x_0} - 1}} = 2.\left( { + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - \frac{1}{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \sqrt 2  + \sqrt 2  = 2\sqrt 2 .\)

\({x_0} = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow m = 2\left( {1 - {x_0}} \right) - \frac{1}{{{x_0} - 1}} = 2.\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - \frac{1}{{ + \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} =  - \sqrt 2  - \sqrt 2  =  - 2\sqrt 2 .\)

Chọn đáp án A.