Đặt một điện áp xoay chiều có tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch R, L, C nối tiếp

Ta có \(Uc = \frac{U.Zc}{\sqrt{R^2 + (Zl - Zc)^2}} = \frac{U}{\sqrt{\frac{R^2}{Z_C^2 + \frac{(Zl - Zc)^2}{Z_c^2}}}}\)
Để Ucmax thì  \(\frac{R^2}{Zc^2} + \frac{(Zl - Zc)^2}{Z_c^2}min \Leftrightarrow \frac{R^2}{Zc^2} + \frac{Zl^2}{Z_c^2} - \frac{2Zl. Zc}{Z_c^2} + \frac{Z_C^2}{Z_C^2}min\)
\(\Leftrightarrow \frac{R^2 + Zl^2}{Z_c^2} - \frac{2Zl}{Z_c} + 1\) Đặt \(\frac{1}{Zc} = x\) và \(\frac{R^2 + Zl^2}{Z_C^2} - \frac{2Zl}{Zc} + 1 = f(x)\)
Hàm số min tại \(x =- \frac{b}{2a} = \frac{2Zl}{2. (R^2 + Zl^2)} = \frac{Zl}{R^2 + Zl^2}\)
\(\Rightarrow Zc = \frac{R^2 + Zl^2}{Zl} = \frac{R^2 + 4R^2}{2R} = \frac{5R}{2}\)
=> Hệ số công suất của mạch là: 
\(cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (Zl - Zc)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2 R - \frac{5R}{2})^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\)