Có tất cả bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với \(x,y\) nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)?

Từ giả thiết ta thấy chỉ cần xét trong điều kiện \(3 < x\le 2020\) và \(1\le y\le 2020\).

Ta có: \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( x+4 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\)\( \le \left( 2-y \right)\left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Do \(y\) nguyên dương nên ta chỉ cần xét các trường hợp sau:

T.H1. \(y=1\), khi đó bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành:

\(3\left( x+4 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)\)\( \le \left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)\( \Leftrightarrow 3.\frac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\le 0\).

- Xét hàm số: \(f\left( x \right)\)\( =3.\frac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\) với \(x\in \left( 3;2020 \right]\).

Có: \({f}'\left( x \right)\)\( =3.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right).\frac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\frac{-7\left( x-3 \right)}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right).\ln 2}\)

\(=\frac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\left( 3.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-\frac{x-3}{\left( 2x+1 \right).\ln 2} \right)>0,\,\,\forall x>3\), do đó \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 3;+\infty  \right)\).

\(\Rightarrow f\left( x \right)\)\( \le f\left( 2020 \right),\,\,\forall x\in \left( 3;2020 \right]\)

\(\Leftrightarrow f\left( x \right)\)\( \le 3.\frac{2024}{2017}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{4041}{2017} \right)<0,\,\,\forall x\in \left( 3;2020 \right]\)

Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( 3;2020 \right]\).

Lại do \(x\in \mathbb{Z}\) nên \(x\in \left\{ 4;5;6;...;2020 \right\}\), hay trường hợp này có \(2017\) cặp số \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn.

T.H2: \(y=2\), khi đó bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(0\le 0\) luôn đúng với mọi \(x\in \left( 3;2020 \right]\).

Do đó trường hợp này có \(2017\) cặp số \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn bài toán.

T.H3. \(y>2\), khi đó \(\frac{2y}{y+2}>1\Rightarrow VT\left( 1 \right)>0\).

Do đó để BPT \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thì điều kiện cần là \(VP\left( 1 \right)>0\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)<0\)\( \Leftrightarrow \frac{2x+1}{x-3}<1\)\( \Leftrightarrow 2x+1

Trường hợp bày không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy có tất cả \(4034\) cặp \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B