Có bao nhiêu tham số nguyên m để tồn tại cặp số \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn : \({{\text{e}}^{2x+y+1}}-{{\text{e}}^{3x+2y}}=x+y-1\), đồng thời phương trình \(\left( m-3 \right){{9}^{2x+y-1}}+2\left( m+1 \right){{3}^{x}}-m-1=0\) có 2 nghiệm x phân biệt.

Ta có: \({{\text{e}}^{2x+y+1}}-{{\text{e}}^{3x+2y}}=x+y-1 \Leftrightarrow {{\text{e}}^{2x+y+1}}+\left( 2x+y+1 \right)={{\text{e}}^{3x+2y}}+\left( 3x+2y \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+t\) trên \(\mathbb{R}\). Ta có \({f}'\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+1>0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó phương trình có dạng: \(f\left( 2x+y+1 \right)=f\left( 3x+2y \right) \Leftrightarrow 2x+y+1=3x+2y \Leftrightarrow y=1-x\).

Thế vào phương trình còn lại ta được: \(\left( m-3 \right){{9}^{x}}+2\left( m+1 \right){{3}^{x}}-m-1=0\).

Đặt \(t={{3}^{x}}\, \left( t>0 \right)\).

\(\left( m-3 \right){{9}^{2x+y-1}}+2\left( m+1 \right){{3}^{x}}-m-1=0\) (1)

Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( m-3 \right){{t}^{2}}+2\left( m+1 \right)t-m-1=0 \left( * \right)\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm x phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm t dương phân biệt

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 3 \ne 0\\ 2{m^2} - 2 > 0\\ \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{m - 3}} > 0\\ \frac{{ - \left( {m + 1} \right)}}{{m - 3}} > 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 3\\ \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 1 \end{array} \right.\,\,\\ - 1 < m < 3 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m < 3\)

Vì m nguyên nên m =2.