Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( \sin x \right)=m\) có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ -\pi ;\frac{5\pi }{2} \right]\) là

Đặt \(t=\sin x,x\in \left[ -\pi ;\frac{5\pi }{2} \right]\Rightarrow -1\le t\le 1\). Phương trình \(f\left( \sin x \right)=m\) trở thành \(f\left( t \right)=m\)

+) \(m=-2\Rightarrow t=-1\) : Phương trình \(\sin x=-1\) có 2 nghiệm \(x\in \left[ -\pi ;\frac{5\pi }{2} \right]\).

+) \(-2<m<-1\Rightarrow \) Phương trình \(f\left( t \right)=m\) có 1 nghiệm \(t\in \left( -1;0 \right) \Rightarrow \) phương trình \(\sin x=t\) có 4 nghiệm phân biệt \(x\in \left[ -\pi ;\frac{5\pi }{2} \right]\).

+) \(m=-1 \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( t \right)=m\) có 1 nghiệm \({{t}_{1}}\in \left( -1;0 \right)\) và t=1. \(\Rightarrow \) phương trình \(\sin x=t\) có 6 nghiệm phân biệt \(x\in \left[ -\pi ;\frac{5\pi }{2} \right]\)

+) \(-1<m<0 \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( t \right)=m\) có 1 nghiệm \({{t}_{1}}\in \left( -1;0 \right)\) và 1 nghiệm \({{t}_{2}}\in \left( 0;1 \right) \Rightarrow \) phương trình \(\sin x=t\) có 7 nghiệm phân biệt \(x\in \left[ -\pi ;\frac{5\pi }{2} \right]\).

+) m=0 \(\Rightarrow \) Phương trình \(f\left( t \right)=0\) có nghiệm \(t=0\Rightarrow \) phương trình \(\sin x=0\) có 4 nghiệm phân biệt \(x\in \left\{ -\pi ;0;\pi ;2\pi  \right\}\)

+) \(m>0\Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy: \(m\in \left( -2;-1 \right)\cup \left\{ 0 \right\}\)