Cho tứ diện \(ABCD\) cạnh \(a. \) Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(BM=2MC. \) Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Mặt phẳng \(\left( IJM \right)\) chia tứ diện \(ABCD\) thành hai phần, thể tích của phần đa diện chứa đỉnh \(B\) tính theo \(a\) bằng

Câu hỏi:
Cho tứ diện \(ABCD\) cạnh \(a. \) Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(BM=2MC. \) Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Mặt phẳng \(\left( IJM \right)\) chia tứ diện \(ABCD\) thành hai phần, thể tích của phần đa diện chứa đỉnh \(B\) tính theo \(a\) bằng
- A. \(\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{162}. \)
- B. \(\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{324}. \)
- C. \(\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}. \)
- D. \(\frac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}. \)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Vì \(\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3},\) suy ra \(IM//AC.\) Kéo dài \(MI\) cắt \(AB\) tại \(N:\frac{BN}{BA}=\frac{2}{3}.\)

Suy ra \(NJ//AD.\) Kéo dài \(NJ\) cắt \(BD\) tại \(P:\frac{BP}{BD}=\frac{2}{3}.\)

Vì tứ diện đều nên \(DI\) là đường cao của tứ diện.

+) \(DJ=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3};{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Suy ra: \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.\)

Khi đó: \(\frac{{{V}_{B.MNP}}}{{{V}_{B.CAD}}}=\frac{BM}{BC}.\frac{BN}{BA}.\frac{BP}{BD}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}=\frac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{B.MNP}}=\frac{8}{27}{{V}_{B.CAD}}=\frac{8}{27}.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\frac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}.\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ATNETWORK