-
Câu hỏi:
Cho các số thực \(x,y\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(\frac{2+\sqrt{9{{y}^{2}}+3}}{1+\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}+\frac{4x-2}{3y}=0. \) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=3y+{{x}^{2}}-\sqrt{2}\) là
- A. \(\sqrt{2}. \)
- B. \(1+\sqrt{2}. \)
- C. \(-\sqrt{2}. \)
- D. \(1-\sqrt{2}. \)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
ĐK: \(y\ne 0.\)
Phương trình \(\Leftrightarrow 6y+3y\sqrt{9{{y}^{2}}+3}=\left( 2-4x \right)+\left( 2-4x \right)\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\)
\(\Leftrightarrow 6y+3y\sqrt{9{{y}^{2}}+3}=2\left( 1-2x \right)+\left( 1-2x \right)\sqrt{4{{y}^{2}}-4y+4}\)
\(\Leftrightarrow 2.3y+3y\sqrt{{{\left( 3y \right)}^{2}}+3}=2\left( 1-2x \right)+\left( 1-2x \right)\sqrt{{{\left( 1-2x \right)}^{3}}+3}\)
\(\Leftrightarrow f\left( 3y \right)=f\left( 1-2x \right)\text{ }\left( 1 \right)\) với \(f\left( t \right)=2t+t\sqrt{{{t}^{2}}+3},\forall t\in \mathbb{R}.\)
Có \(f'\left( t \right)=2+\sqrt{{{t}^{2}}+3}+\frac{{{t}^{2}}}{\sqrt{{{t}^{2}}+3}}>0,\forall t\in \mathbb{R}\) nên \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3y=1-2x.\) Suy ra \(P=1-2x+{{x}^{2}}-\sqrt{2}={{\left( x-1 \right)}^{2}}-\sqrt{2}\ge -\sqrt{2}.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = - \frac{1}{3} \end{array} \right..\) Vậy \(\min P=-\sqrt{2}.\)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình \(f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)=1\) có bao nhiêu nghiệm?
- Rút gọn \(P=\frac{{{a}^{\sqrt{3}+1}}.{{a}^{2-\sqrt{3}}}}{{{\left( {{a}^{\sqrt{2}-2}} \right)}^{\sqrt{2}+2}}}.\)
- Cho tứ diện \(ABCD\) cạnh \(a. \) Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(BM=2MC. \) Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Mặt phẳng \(\left( IJM \right)\) chia tứ diện \(ABCD\) thành hai phần, thể tích của phần đa diện chứa đỉnh \(B\) tính theo \(a\) bằng
- Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V. \) Gọi \(M,N,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AB,BC,A'D'\) sao cho \(AM=\frac{1}{2}AB,BN=\frac{1}{4}BC,A'P=\frac{1}{3}A'D'. \) Thể tích của khối tứ diện \(MNPD'\) tính theo \(V\) bằng
- Biết tập nghiệm của bất phương trình \({{2}^{x}}
- Đạo hàm của hàm số \(y={{13}^{x}}\) là
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng \(37;13;30\) và diện tích xung quanh bằng 480. Khi đó thể tích khối lăng trụ bằng?
- Cho hàm số \(y=\frac{x-2}{x-m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;3 \right)\) khi:
- Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(AB=a. \) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}. \) Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) bằng
- Cho hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}. \) Khẳng định nào sau đây đúng?
- Cho hình nón xoay đường sinh \(l=2a. \) Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có một góc bằng \({{120}^{0}}. \) Thể tích \(V\) của khối nón đó là
- Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-3b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}\left( 4b \right)\) và \(a>3b>0. \) Khi đó giá trị của \(\frac{a}{b}\) là
- Cho tứ diện \(ABCD\) có các cạnh \(AB,AC\) và \(AD\) đôi một vuông góc. Các điểm \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(BC,CD,BD. \) Biết rằng \(AB=4a;AC=6a;AD=7a. \) Thể tích \(V\) của khối tứ diện \(AMNP\) bằng
- Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Nếu giá mỗi căn là 3.000.000 đồng/tháng thì không có phòng trống, còn nếu cứ tăng giá mỗi căn hộ thêm 200000 đồng/tháng thì sẽ có 2 căn bị bỏ trống. Hỏi công ty phải niêm yết giá bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất.
- Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a. \) Gọi \(S\) là điểm thuộc đường thẳng \(AA'\) sao cho \(A'\) là trung điểm của \(SA. \) Thể tích phần khối chóp \(S.ABD\) nằm trong khối lập phương bằng
- Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x+1}\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y=x+m. \) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) thuộc khoảng \(\left( -10;10 \right)\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm về hai phía trục hoành?
- Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và công sai \(d=-7. \) Giá trị \({{u}_{6}}\) bằng:
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(g\left( x \right)=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}\) là
- Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{10000-{{x}^{2}}}}{x-2}\) là
- Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn điều kiện Gọi \({{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó \(\lim {{S}_{n}}\) bằng
- Số nghiệm âm của phươg trình \(\log \left| {{x}^{2}}-3 \right|=0\) là
- Kí hiệu \(C_{n}^{k}\) là số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử, \(A_{n}^{k}\) là số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử. Cho tập \(X\) có 2020 phần tử. Số tập con gồm 10 phần tử của tập \(X\) bằng
- Cho khối trụ tròn xoay có bán kính đường tròn đáy \(R=4a. \) Hai điểm \(A\) và \(B\) di động trên hai đường tròn đáy của khối trụ. Tính thể tích \(V\) của khối trụ tròn xoay đó biết rằng độ dài lớn nhất của đoạn \(AB\) là \(10a. \)
- Tập xác định của hàm số \(y={{\left( x-1 \right)}^{\frac{2}{3}}}\) là
- Cho hàm số \(y=\sqrt{{{x}^{3}}-3x}. \) Nhận định nào dưới đây là đúng?
- Với \(a\) là số thực dương, \(\ln \left( 7a \right)-\ln \left( 3a \right)\) bằng
- Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-4x+5\left( 1 \right). \) Đường thẳng \(\left( d \right):y=3-x\) cắt đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B. \) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
- Cho hình trụ tròn xoay có diện tích thiết diện qua trục là \(100{{a}^{2}}. \) Diện tích xung quanh của hình trụ đó là
- Số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6\) bằng
- Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào
- Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nà sau đây?
- Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Trên mặt phẳng \(Oxy,\) gọi \(S\) là tập hợp các điểm \(M\left( x;y \right)\) với \(x,y\in \mathbb{Z},\left| x \right|\le 3,\left| y \right|\le 3. \) Lấy ngẫu nhiên một điểm \(M\) thuộc \(S. \) Xác suất để điểm \(M\) thuộc đồ thị hàm số \(y=\frac{x+3}{x-1}\) bằng
- Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=-{{x}^{3}}+1\) là
- Cho \(a\) và \(b\) lần lượt là số hạng thứ nhất và thứ chín của một cấp số cộng có công sai \(d\ne 0. \) Giá trị của \({{\log }_{2}}\left( \frac{b-a}{d} \right)\) bằng
- Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có công bội bằng 3 và số hạng đầu là nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}x=2. \) Số hạng thứ năm của cấp số nhân bằng
- Trong khai triển \({{\left( xy-\frac{3}{{{y}^{4}}} \right)}^{12}}\) hệ só của số hạng có số mũ của \(x\) gấp 5 lần số mũ của \(y\) là
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như bên. Khẳng định nào sau đây sai?
- Cho hàm số \(y=\frac{ax-b}{x-1}\) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
- Một hộp đựng 7 bi trắng, 6 bi đen, 3 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 bi, xác suất 3 bi lấy ra khác màu nhau là
- Số giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y=m{{x}^{4}}-\left( m-3 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\) khôg có điểm CĐ
- Biết phương trình \({{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{2}}+15{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}={{2}^{x+3}}\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và \(\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}={{\log }_{a}}b>1,\) trong đó \(a,b\) là các số nguyên tố, giá trị của biểu thức \(2a+b\) là
- Cho các số thực \(x,y\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(\frac{2+\sqrt{9{{y}^{2}}+3}}{1+\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}+\frac{4x-2}{3y}=0. \) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=3y+{{x}^{2}}-\sqrt{2}\) là
- Xét tập hợp các khối nón tròn xoay có cùng góc ở đỉnh \(2\beta ={{90}^{0}}\) và có độ dài đường sinh bằng nhau. Có thể sắp xếp được tối đa bao nhiêu khối nón thỏa mãn cứ hai khối nón bất kì thì chúng chỉ có đỉnh chung hoặc ngoài đỉnh chung đó ra chính có thể có chung một đường sinh duy nhất?
- Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a. \) Biết \(A'\) cách đều ba đỉnh \(A,B,C\) và mặt phẳng \(\left( A'BC \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( AB'C' \right). \) Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) tính theo \(a\) bằng
- Cho hai hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}(a,b\) là các số dương khác 1) có đồ thị là \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)\) như hình vẽ. Vẽ đường thẳng \(y=c\left( c>1 \right)\) cắt trục tung và \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)\) lần lượt tại \(M,N,P. \) Biết rằng \({{S}_{OMN}}=3{{S}_{ONP}}. \) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
- Một tổ gồm 10 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam, xếp 10 học sinh thành một hàng dọc. Số cách xếp sao cho xuất hiện đúng 1 cặp (1 nữ và 1 nam) và nữ đứng trước nam là
- Cho phương trình \(\left( {{\log }_{5}}{{x}^{2020}}-mx \right)\sqrt{2{{\log }_{2}}x-x}=0. \) Số giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên mỗi khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\), có bảng biến thiên như hình bên. Tổng số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số \(y=\frac{{{2}^{f\left( x \right)}}+1}{f\left( x \right)}\) là
