Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(\widehat B = {60^0}\) và AB = 5cm. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.

a) Chứng minh: \(\Delta ABD =\Delta EBD\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại A và \(\Delta EBD\) vuông tại E có:

          \(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = {90^0}\)

          BD là cạnh huyền chung

          \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (gt)

Vậy \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn)  

b) Chứng minh: \(\Delta ABE\) là tam giác đều.

Có \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cmt)

AB = BE (hai cạnh tương ứng)

mà \(\widehat B = {60^0}\) (gt)

Vậy \(\Delta ABE\) có AB = BE và \(\widehat B = {60^0}\) nên \(\Delta ABE\) đều.

c) Tính độ dài cạnh BC

Ta có \(\widehat {EAC} + \widehat {BEA} = {90^0}\) (gt)

          \(\widehat C + \widehat B = {90^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

Mà \(\widehat {BEA} = \widehat B = {60^0}\,\,\,(\Delta ABE\) đều)

Nên \(\widehat {EAC} = \widehat C\)

\( \Rightarrow \Delta AEC\) cân tại E

\( \Rightarrow EA = EC\) mà EA = AB = EB = 5cm

Do đó EC = 5cm

Vậy BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm