Cho tam giác ABC nhọn, với AB < BC.

8a. Ta có \(\Delta AEC\) cân tại E, \(\Delta AFB\)  cân tại F

\(\widehat {FBA} = \widehat {BAD}\)

\( = \widehat {CAD} = \widehat {ECA}\)

Do đó \(\Delta ABF \sim \Delta ACE\,\,\left( {g - g} \right)\)

8b. Ta có BF // CE nên  \(\frac{{KB}}{{KE}} = \frac{{BF}}{{CE}}\)

Từ câu a suy ra \(\frac{{BF}}{{CE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Mặt khác, AD là phân giác trong của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\)

Từ ba điều trên suy ra \(\frac{{KB}}{{KE}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) nên KD // CE

Mà AD // CE nên A, K, D thẳng hàng

8c. Ta có BF // CE nên \(\widehat {QPK} = \widehat {ECK}\) (PECK nội tiếp)  \( = \widehat {QFK}\,\,\left( {slt} \right)\)

Suy ra QFPK nội tiếp (1)

Ta lại có \(\widehat {BQK} = \widehat {QAK} = \widehat {KAE}\,\left( {slt} \right) = \widehat {KAC} + \widehat {CAE}\)

Mà \(\widehat {KAC} = \widehat {KAB}\) và \(\widehat {CAE} = \widehat {BAF}\) nên \(\widehat {BQK} = \widehat {KAB} + \widehat {BAF} = \widehat {KAF}\)

Do đó AKQF nôi tiếp (2)

Từ (1) và (2) ta được A, P, K, Q, F cùng thuộc một đường tròn