Cho số phức z e 0 sao cho z không phải là số thực và w=z/(1+z^2) là số thực.

Đặt \(z = a + bi\left( {b \ne 0} \right) \Rightarrow {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi \Rightarrow \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}}\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {1 + {a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{a + {a^3} - a{b^2} - 2{a^2}bi + bi + {a^2}bi - {b^3}i + 2a{b^2}i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{(a + {a^3} + a{b^2}) + ( - {a^2}b + b - {b^3})i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}} \in \mathbb{R}\end{array}\)

Hay: \(b - {b^3} - {a^2}b = 0 \Leftrightarrow b(1 - {b^2} - {a^2}) = 0 \Leftrightarrow 1 - {b^2} - {a^2} = 0\)  (Do \(b \ne 0\) )

 Vậy \({a^2} + {b^2} = 1.\)

Vậy: \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.\)