-
Câu hỏi:
Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) là
- A. \(\frac{4\pi +\sqrt{3}}{12}\).
- B. \(\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\) .
- C. \(\frac{4\pi +2\sqrt{3}-3}{6}\).
- D. \(\frac{5\sqrt{3}-2\pi }{3}\).
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\) và cung tròn \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\)
(với \(0\le x\le 2\)) lả \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}=\sqrt{3}{{x}^{2}}\)\( \Leftrightarrow 4-{{x}^{2}}=3{{x}^{4}}\Leftrightarrow x=1\).
Diện tích của \(\left( H \right)\) là
\(S=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\\ =\frac{\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}}\left| \begin{align} & ^{1} \\ & _{0} \\ \end{align} \right.+I\\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+I\) với \(I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\).
Đặt \(x=2\sin t\), \(t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dx=2\cos t.dt\)
Đổi cận \(x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}\), \(x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}\).
\(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}.2\cos t.dt}\\ =\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{4{{\cos }^{2}}t.dt}\\ =\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\left( 1+\cos 2t \right).dt}\\ =\left( 2x+\sin 2t \right)\left| \begin{align} & ^{\frac{\pi }{2}} \\ & _{\frac{\pi }{6}} \\ \end{align} \right.\)
\(=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(S=\frac{\sqrt{3}}{3}+I\)\( =\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)\( =\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Cho số phức \(z=-1-2\sqrt{6}i\). Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline{z}\) là?
- Đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{2023}}\left( {{x}^{2}}+x \right)\) là
- Đạo hàm của hàm số \(y={{8}^{x}}\) là
- Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({{5}^{x+1}}-\frac{1}{5}>0\).
- Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- Cho tam giác \(ABC\)có trọng tâm \(G\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề SAI
- Số giao điểm của đồ thị \((C):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+1\) và đường thẳng \(y=1\) là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;\,2]\) và \(f\left( -1 \right)=2023,\,f\left( 2 \right)=-1. \)
- Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
- Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25\)
- Cho điểm \(M\left( 1,-4,-2 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+5z-14=0\)
- Cho số phức \(z\)thỏa mãn \(\left( 1+i \right)z=14-2i\).
- Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(S=2{{a}^{2}}\), chiều cao \(h=6a\) là:
- Cho hình chóp \(S.
- Phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\) tại điểm có hoành độ
- Cho hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) trong không gian.
- Cho hình trụ có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh \(l\).
- Trong không gian \(\text{Ox}yz\), đường thẳng \(d:\,\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-2}\) đi qua điểm nào dưới đây?
- Cho hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\), \(\left( a,b,c\in R \right)\)
- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{2x+4}\) là đường thẳng có phương trình:
- Tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-13}}<27\) là
- Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
- Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- Cho hai tích phân \(\int\limits_{-2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}}x=8\) và \(\int\limits_{5}^{-2}{g\left( x \right)\text{d}}x=3\).
- Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\).
- Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm\(f'\left( x \right)=x\left( x-1 \right){{\left( x+4 \right)}^{2023}},\,\forall x\in \mathbb{R}\)
- Đặt \(a={{\log }_{2}}5,\,b={{\log }_{3}}5\). Hãy biểu diễn \({{\log }_{6}}5\)theo \(a\) và \(b\).
- Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: \(y={{x}^{3}}-3x\), \(y=x\). Tính S.
- Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng nhau.
- Cho hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
- Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
- Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD.\)
- Nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)=1+{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)\)
- Gọi \({{z}_{1}}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({{z}^{2}}-2z+5=0\).
- Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)
- Cho hình nón đỉnh\(S\), đáy là đường tròn \(\left( O;\,5 \right)\).
- Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA=a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Biết đáy là tam giác vuông cân tại \(A\) và \(BC=a\sqrt{2}\).
- Khẳng định nào sau đây đúng?
- Tập nghiệm của bất phương trình \(({{3}^{2x}}-9)({{3}^{x}}-\frac{1}{27})\sqrt{{{3}^{x+1}}-1}\le 0\) chứa ba
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1 \right\}\),
- Cho \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}+x}{{{x}^{2}}{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}}\text{d}x}=\frac{a}{2}-\frac{1}{b+\ln c}\)
- Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\)
- Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+i,{{z}_{2}}=1-2i.\) Môđun của số phức
- Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông.
- Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( 1;-2;3 \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I,
- Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Lấy hai điểm \(A,B\)
- Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ,
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(SA\)
- Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16\)
