Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ,

Chọn B

Đặt \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) theo giả thiết có 

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} f\left( x \right)+1=a{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+m \right) \\ f\left( x \right)-1=a{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x+n \right) \\ \end{array} \right.\)

Do đó

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} f\left( 1 \right)+1=0 \\ f\left( -1 \right)-1=0 \\ f\left( 0 \right)=0 \\ {f}'\left( 1 \right)=0 \\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+b+c+d+1=0 \\ -a+b-c+d-1=0 \\ d=0 \\ 3a+2b+c=0 \\ \end{array}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=\frac{1}{2} \\ b=0 \\ c=-\frac{3}{2} \\ d=0 \\ \end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x \right.\)

Ta có 

\(f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x=0 \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=0 \\ x=\pm \sqrt{3} \\ \end{array} \right.\)

\({{S}_{1}}\) là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(y=\frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x\),\(y=-1\), \(x=0,x=1\)\(\Rightarrow {{S}_{1}}\)\( =\int\limits_{0}^{1}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x+1 \right| =\frac{3}{8}}\)\(\left( 1 \right)\)

\({{S}_{2}}\) là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(y=\frac{1}{3}{{x}^{2}}-\frac{3}{2}x\), \(y=0,x=1,x=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow {{S}_{2}}\)\( =\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x \right|=\frac{1}{2}}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\)\(\Rightarrow 2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}=2.\frac{1}{2}+8.\frac{3}{8}=4\).