Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a

Để tích thể tích khối chóp A’BCC’B’ ta tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\) và \({V_{A'ABC}}.\)

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên suy ra \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};BC = a\sqrt 2 .\)

Vì G là trọng tâm của tam giác \(ABC \Rightarrow MG = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)

Tam giác BGM vuông tại M

\( \Rightarrow BG = \sqrt {M{G^2} + B{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 5 a}}{3}\)

Vì \(A'G \bot mp(ABC) \Rightarrow (A'B,mp(ABC)) = (A'B,GB) = A'BG = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta A'GB\) vuông cân tại \(G \Rightarrow A'G = GB = \frac{{\sqrt 5 a}}{3}.\)

\(\begin{array}{l}{V_{ABC.A'B'C'}} = A'G.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 5 a}}{3}.\left( {\frac{1}{2}a.a} \right) = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\\{V_{A'ABC}} = \frac{1}{3}.A'G.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 5 a}}{3}.\left( {\frac{1}{2}a.a} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{{18}}{a^3}.\end{array}\)

Từ đó suy ra:

\({V_{A'.BCC'B'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{A'ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6} - \frac{{\sqrt 5 }}{{18}}{a^3} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{9}\) (đvtt)