Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V, điểm P thuộc cạnh AA', Q thuộc BB' \(\frac{{PA}}{{PA'}} = \frac{{QB'}}{{QB}} = \frac{1}{3}\), R là trung điểm CC'. Tính thể tích khối chóp tứ giác R.ABQP theo V.

Cách 1: Nếu bài toán đúng với mọi hình lăng trụ thì bài toán cũng phải đúng với hình lăng trụ đặc biệt.

Giả sử ABC.A'B'C' là khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A và AB = AC = 4, AA' = 4.

Chọn hệ trục tọa độ với AB = Ax; AC = Ay; AA = Az.

Thể tích khối lăng trụ:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \frac{1}{2}.4.4.4 = 32\)

Diện tích \({S_{ABQP}} = {S_{APTB}} + {S_{PTQ}}\)

\( = 4.1 + \frac{1}{2}.4.2 = 8\)

Chiều cao hình chóp R.ABQP:

\(d\left( {R,\left( {ABQP} \right)} \right) = d\left( {R;Oxz} \right) = \left| {{y_R}} \right| = 4\)

(Vì \(R\left( {0;4;2} \right);\left( {Oxz} \right):y = 0\)).

Suy ra thể tích khối chóp:

\(\begin{array}{l}
{V_{R.ABPQ}} = \frac{1}{3}{S_{ABQP}}d\left( {R,\left( {ABQP} \right)} \right)\\
 = \frac{1}{3}.8.4 = \frac{{32}}{3}
\end{array}\)

Vậy \(\frac{{{V_{R.ABPQ}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{1}{3}\)

Cách 2: 

\({V_{R.ABPQ}} = \frac{1}{2}{V_{R.ABB'A'}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}V = \frac{1}{3}V\)