Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(30^0\).

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC

\( \Rightarrow SI = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

(SI là đường cao của tam giác đều SAD)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\
SI \bot AD,SI \subset \left( {SAD} \right)\\
\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\)

\(\Rightarrow JI\) là hình chiếu vuông góc của JS lên (ABCD).

Khi đó,

\(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {JS,JI} \right) = SJI = {30^0}\)

\(\Delta SIJ\) vuông tại I \( \Rightarrow \tan SJI = \frac{{SI}}{{IJ}}\)

\( \Rightarrow IJ = \frac{SI}{{\tan SJI}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\tan {{30}^0}}} = 3a\)

\(\begin{array}{l}
{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SI = \frac{1}{3}AD.IJ.SI\\
 = \frac{1}{3}2a.3a.a\sqrt 3  = 2{a^3}\sqrt 3 
\end{array}\)