Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm là I và có diện tích bằng (9a^2).

* Xét \(\Delta ADB\), có \(3\overrightarrow {AH}  - 2\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow 0 \) và AI là trung tuyến nên H là trọng tâm.

Kéo dài BH cắt AD tại trung điểm K

\(\begin{array}{l}
BH = \frac{2}{3}BK\\
 = \frac{2}{3}\sqrt {A{K^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 5 
\end{array}\)

* Trong mp (ABCD), dựng HJ // AB \(\left( {J \in AD} \right)\)

\( \Rightarrow AD \bot HJ\left( 1 \right)\)

Mà \(AD\bot A'H\)

Nên \(AD \bot \left( {A'HJ} \right) \Rightarrow AD \bot A'J\left( 2 \right)\)

Ta lại có: \(\left( {A'AD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \left( {\left( {A'AD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {A'J,HJ} \right)\)

\(\begin{array}{l}
{S_{ABCD}} = 9{a^2} \Rightarrow A{B^2} = 9{a^2}\\
 \Rightarrow AB = 3a
\end{array}\)

* \(\Delta A'HB\) vuông tại H có: 

\(A'H = \sqrt {A'{B^2} - H{B^2}}  = a\)

* Xét \(\Delta AKI\), có JH // KI suy ra

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{JH}}{{KI}} = \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{2}{3}\\
 \Rightarrow JH = \frac{2}{3}KI = a
\end{array}\)

* \(\Delta A'HB\) vuông tại H có:

\(JH = A'H = a \Rightarrow \Delta A'JH\) vuông tại H.

Vậy \(\left( {\left( {A'AD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {A'JH} = {45^0}\)

Chọn A.