Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a AC’ tạo với mặt phẳng (A'B'C) một góc 600 và AC' = 4a

Ta có \({V_{A.A'B'C'}} + {V_{A.BCC'B'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{A.BCC'B'}}\)
\(= {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\)

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng \(\Rightarrow \widehat {\left( {AC';\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {AC'H} = {60^0}\)

Khi đó

\(\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{AC'}} \Rightarrow AH = \sin {60^0}.4a = 2a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta A'B'C'}}\)
\(= 2a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{2}\)

Vậy thể tích của khối đa diện cần tìm là  \({V_{A.BCC'B'}} = \frac{2}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}.\frac{{3{a^3}}}{2} = {a^3}\)