Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Góc giữa đường thẳng \(A{B}'\) và mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) bằng \(30{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \({B}'{C}'\). Mặt phẳng \(\left( {A}'MN \right)\) cắt \(BC\) tại \(P\). Thể tích khối đa diện \(MBP.{A}'{B}'N\) bằng?

Gọi \(D\) là trung điểm \(BC\), \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(B{B}'\).

Theo giả thiết thì:

\(\left\{ \begin{align} & \widehat{A{B}'D}=30{}^\circ \\ & IN\cap BC=P \\ \end{align} \right.\\ \Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}={{V}_{I.{A}'{B}'N}}-{{V}_{I.MBP}}\)

Khi đó: \(A{B}'=\frac{AD}{\sin 30{}^\circ }=a\sqrt{3}\)\( \Rightarrow A{A}'=\sqrt{A{{{{B}'}}^{2}}-{A}'{{{{B}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}\)\( \Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}\)

Do \(M\) là trung điểm \(AB\) nên\(B\) là trung điểm \(I{B}'\) thì:

\(d\left( I,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)\)\( =2.d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)\) và \(P\) là trung điểm \(BD\).

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{V}_{I.MBP}}=\frac{1}{3}{{S}_{MBP}}.d\left( I,\left( MBP \right) \right) \\ & {{V}_{I.{A}'{B}'N}}=\frac{1}{3}{{S}_{{A}'{B}'N}}.d\left( I,\left( {A}'{B}'N \right) \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{V}_{I.MBP}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{8}{{S}_{ABC}}.d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\frac{1}{24}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}} \\ & {{V}_{I.{A}'{B}'N}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}.2d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}} \\ \end{align} \right.\)

Vậy \({{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}\)\( ={{V}_{I.{A}'{B}'N}}-{{V}_{I.MBP}}\)\( =\frac{7}{24}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\)\( =\frac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{96}\).

Chọn D