Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang cân với \(AB//CD\), \(AB = 2a,AD = CD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt đáy là trung điểm của \(AC\). Biết góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(45^\circ \), tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\). Theo giả thiết thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc tạo bởi \(SC\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và góc giữa \(SC\) và \(CH\). Do đó \(\widehat {SCH} = 45^\circ \)

Qua \(C\) kẻ \(CK \bot AB\left( {K \in AB} \right)\).

\(ABCD\) là hình thang cân nên \(KB = \dfrac{{AB - CD}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Tam giác \(KBC\) vuông tại \(K\) nên \(KC = \sqrt {B{C^2} - K{B^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}a} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

Tam giác \(AKC\) vuông tại \(K\) nên \(AC = \sqrt {A{K^2} + K{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt 3 a\)

Suy ra \(HC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {SCH} = 45^\circ \) nên tam giác \(SHC\) vuông cân tại \(H\). Do đó \(SH = HC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

Diện tích hình thang \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CK.\left( {AB + CD} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a.3a = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4} = \dfrac{3}{8}{a^3}\)

Chọn D