Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, \(\angle BAD = {60^0}\), cạnh bên \(SA = a\) và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mp \(\left( {SCD} \right)\)?

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Xác định khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AB\parallel CD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow AB\parallel \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot CD\).

Vì \(\angle BAD = {60^0} \Rightarrow \angle ADC = {120^0}\) nên điểm \(H\) nằm ngoài đoạn thẳng CD.

Trong \(\left( {SAH} \right)\) dựng \(AK \bot SH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in SH} \right)\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AH}\\{CD \bot SA{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow CD \bot AK\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SH}\\{AK \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AK\).

Xét tam giác vuông AHD có \(\angle ADH = {180^0} - \angle ADC = {60^0}\), \(AD = a\) \( \Rightarrow AH = AD.sin{60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AH\), suy ra tam giác SAH vuông tại \(A\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }}\) \( = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Chọn A.