Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữa nhật, \(AB=2,\,AD=2\sqrt{3}\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, k/c giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(SC\)bằng \(3\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng?

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có:

\(\left. \begin{align} & \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\ & \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\ & SH\subset \left( SAB \right) \\ & SH\bot AB \\ \end{align} \right\}\\ \Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có:

\(\left. \begin{align} & CD\bot HM \\ & \,CD\bot SH \\ \end{align} \right\}\)\(\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right);\,CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow \left( SHM \right)\bot \left( SCD \right)\)  theo giao tuyến \(SM\);

Ta có \(AB\text{//}CD\subset \left( SCD \right)\)\( \Rightarrow AB\text{//}\left( SCD \right)\);

\(\Rightarrow {{d}_{\left( AB,SC \right)}}\)\( ={{d}_{\left[ AB,\left( SCD \right) \right]}}\)\( ={{d}_{\left[ H,\left( SCD \right) \right]}}\)  ;

Kẻ \(HK\bot SM\,\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow {{d}_{\left[ H,\left( SCD \right) \right]}}=HK\);

Ta có \(\Delta SHM\)vuông tại \(H,\,\,HK\) là đường cao  nên

\(\frac{1}{H{{K}^{2}}}\)\( =\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow \,\frac{1}{S{{H}^{2}}}\)\( =\frac{1}{9}-\frac{1}{12}\)\( =\frac{1}{36}\Rightarrow SH=6\);

Vậy \({{V}_{S.ABCD}}\)\( =\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH\)\( =\frac{1}{3}.2.2\sqrt{3}.6=8\sqrt{3}\).

Chọn D