Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật cạnh \(AB=1,AD=2.\text{ }SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và \(SA=2.\) Gọi \(M,N,P\) lần lượt là chân đường cao hạ từ \(A\) lên các cạnh \(SB,SD,DB.\) Thể tích khối chóp \(AMNP\) bằng

Ta có: \({{V}_{S.ABD}}=\frac{1}{6}AS.AB.AD=\frac{1}{6}\times 2\times 2\times 1=\frac{2}{3}.\)

+) \(\frac{BP}{BD}=\frac{A{{B}^{2}}}{B{{D}^{2}}}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{1}{5}\Rightarrow BP=\frac{1}{5}BD,\) suy ra:

\({{S}_{\Delta ABP}}=\frac{1}{5}{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}.AB.AD=\frac{1}{5};{{S}_{\Delta APD}}=\frac{4}{5}{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}.AB.AD=\frac{4}{5}.\)

Tam giác \(SAD\) vuông cân tại A nên \(\frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}\Rightarrow d\left( N;\left( ABCD \right) \right)=\frac{1}{2}SA=1.\)

+) \(\frac{BM}{BS}=\frac{B{{A}^{2}}}{B{{S}^{2}}}=\frac{B{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{1}{5}\Rightarrow d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=\frac{1}{5}SA=\frac{2}{5}.\)

Suy ra: \({{V}_{M.ABP}}=\frac{1}{3}d\left( M;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{\Delta ABP}}=\frac{1}{3}.\frac{2}{5}.\frac{1}{5}=\frac{2}{75}.\)

\({{V}_{N.APD}}=\frac{1}{3}d\left( N;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{\Delta ADP}}=\frac{1}{3}.1.\frac{4}{5}=\frac{4}{15}.\)

\({{V}_{S.AMN}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}.{{V}_{S.ABD}}=\frac{4}{5}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{4}{15}.\)

Vậy \({{V}_{A.MNP}}={{V}_{S.ABD}}-{{V}_{M.ABP}}-{{V}_{N.APD}}-{{V}_{S.AMN}}=\frac{2}{3}-\frac{2}{75}-\frac{4}{15}-\frac{4}{15}=\frac{8}{75}.\)