Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a.\) Hình chiếu của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với trung điểm \(BC.\) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng \(B'C'\) và \(AA'\) biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABB'A' \right)\) và \(\left( A'B'C' \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\)

Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C'.\)

Gọi \(N,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BN.\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABB'A' \right)\) và \(\left( A'B'C' \right)\) bằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABB'A' \right)\) và \(\left( ABC \right).\)

Vì \(CN\bot AB\) và \(ME//CN\) nên \(ME\bot AB\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(A'M\bot \left( ABC \right)\Rightarrow A'M\bot AB\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(AB\bot \left( A'EM \right)\Rightarrow \widehat{\left( \left( ABB'A' \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{A'EM}={{60}^{0}}.\)

\(CN=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2};ME=\frac{1}{2}CN=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

Trong tam giác vuông A'EM có \(A'M=ME.\tan {{60}^{0}}=\frac{3a}{4}.\)

Có \(A'M'\bot B'C'\left( 3 \right)\)

\(A'M\bot \left( ABC \right)\Rightarrow A'M\bot \left( A'B'C' \right)\Rightarrow A'M\bot B'C'\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(B'C'\bot \left( AMM'A' \right).\)

Trong mặt phẳng \(\left( AMM'A' \right)\) từ M' kẻ \(M'K\bot AA'\Rightarrow M'K\) chính là đoạn vuông góc chung giữa AA' và B'C'.

Trong mặt phẳng \(\left( AMM'A' \right)\) từ M kẻ \(MI\bot AA'\Rightarrow MI=M'K.\)

Trong tam giác A'MA vuông tại M có \(\frac{1}{M{{I}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{MA{{'}^{2}}}=\frac{28}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow MI=\frac{3a\sqrt{7}}{14}.\)

Vậy \(d=\frac{3a\sqrt{7}}{14}.\)