Cho hình chóp \(S.ABCD\)biết \(A\left( { - 2;2;6} \right),\,B\left( { - 3;1;8} \right),\)\(\,C\left( { - 1;0;7} \right),\,D\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD,\) \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Để khối chóp \(S.ABCD\)có thể tích bằng \(\dfrac{{27}}{2}\) (đvtt) thì có hai điểm \({S_1},\,{S_2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Hãy tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \({S_1}{S_2}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;2} \right),\,\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2;1} \right) \)

\(\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

\(\overrightarrow {DC}  = \left( { - 2; - 2;4} \right),\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;2} \right) \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {DC}  = 2.\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow ABCD\) là hình thang và \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} \Rightarrow SH = 3\sqrt 3 \)

Lại có \(H\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow H\left( {0;1;5} \right)\)

Gọi \(S\left( {a;b;c} \right) \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {SH}  = \left( { - a;1 - b;5 - c} \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {SH}  = k\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = k\left( {3;3;3} \right) \)\(\,= \left( {3k;3k;3k} \right)\)

Suy ra \(3\sqrt 3  = \sqrt {9{k^2} + 9{k^2} + 9{k^2}}  \Rightarrow k =  \pm 1\)

+) Với \(k = 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH}  = \left( {3;3;3} \right) \)\(\,\Rightarrow S\left( { - 3; - 2;2} \right)\)

+) Với \(k =  - 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH}  = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) \Rightarrow S\left( {3;4;8} \right)\)

Suy ra \(I\left( {0;1;3} \right)\)