Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(\widehat {ABC} = {30^0}\). SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên \(SBC\) vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB. Kẻ \(MH \bot SN,\,\,H \in SN\).

Tam giác SBC đều \(SM \bot BC\).

Mà \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right),\,\,\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC \Rightarrow SM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SM \bot AB\)

Ta có:  \(MN//AC\) (do MN là đường trung bình của tam giác ABC) mà \(AB \bot AC \Rightarrow MN \bot AB\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow AB \bot MH\)

Mà \(MH \bot SN \Rightarrow MH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right) = MH \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2MH\) (do M là trung điểm của BC)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat {ABC} = {30^0} \Rightarrow AC = BC\sin {30^0} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow MN = \dfrac{a}{4}\)

\(\Delta SBC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta SMN\) vuông tại M, \(MH \bot SN\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2}}} = \dfrac{{52}}{{3{a^2}}} \Rightarrow MH = \sqrt {\dfrac{3}{{52}}} a\)

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2.\sqrt {\dfrac{3}{{52}}} a = \sqrt {\dfrac{3}{{13}}} a = \dfrac{{\sqrt {39} }}{{13}}a\).

Chọn: C