Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết \(AB = BC = a\), \(AD = 2a,\,\)\(SA = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SB, SA. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (MCD) bằng:

Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết \(AB = BC = a\), \(AD = 2a,\,\)\(SA = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SB, SA. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (MCD) bằng:
- A. \(\dfrac{a}{3}\).
- B. \(\dfrac{a}{4}\).
- C. \(\dfrac{{4a}}{3}\).
- D. \(\dfrac{{3a}}{4}\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Gắn hệ trục tọa độ: \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right),\,B\left( {1;0;0} \right),\,C\left( {1;1;0} \right),\,D\left( {0;2;0} \right)\), \(S\left( {0;0;\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};0;\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right),\,\,N\left( {0;0;\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MC} = \left( {\dfrac{1}{2};1; - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right)\), lấy \(\overrightarrow a = 4\overrightarrow {MC} = \left( {2;4; - 3\sqrt 2 } \right)\)

\(\overrightarrow {CD} = \left( { - 1;1;0} \right)\), lấy \(\overrightarrow b = \left( { - 1;1;0} \right)\)

Mặt phẳng (MCD) có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }}.\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( {1;1;\sqrt 2 } \right)\), đi qua \(C\left( {1;1;0} \right)\) có phương trình là:

\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + \sqrt 2 \left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + \sqrt 2 z - 2 = 0\)

\( \Rightarrow {d_{\left( {N;\left( {MNC} \right)} \right)}} = \dfrac{{\left| {0 + 0 + \sqrt 2 .\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4} - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 2} }} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}}}{2} = \dfrac{1}{4}\)

Vây, khoảng cách từ N đến mặt phẳng (MCD) bằng: \(\dfrac{1}{4}a\)

Chọn: B

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ATNETWORK