Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^4} - \dfrac{{14}}{3}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điềm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right);N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (M, N khác A) thoả mãn \({y_1} - {y_2} = 8\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) ?

Ta có \(y' = \dfrac{4}{3}{x^3} - \dfrac{{28}}{3}x\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại A của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:

\(\begin{array}{l}y = \left( {\dfrac{4}{3}x_A^3 - \dfrac{{28}}{3}{x_A}} \right)\left( {x - {x_A}} \right) + \dfrac{1}{3}x_A^4 - \dfrac{{14}}{3}x_A^2\\ \Leftrightarrow y = \left( {\dfrac{4}{3}x_A^3 - \dfrac{{28}}{3}{x_A}} \right)x - x_A^4 + \dfrac{{14}}{3}x_A^2\,\,\left( d \right)\\M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( {{x_1};\left( {\dfrac{4}{3}x_A^3 - \dfrac{{28}}{3}{x_A}} \right){x_1} - x_A^4 + \dfrac{{14}}{3}x_A^2} \right)\\N \in d \Rightarrow N\left( {{x_2};\left( {\dfrac{4}{3}x_A^3 - \dfrac{{28}}{3}{x_A}} \right){x_2} - x_A^4 + \dfrac{{14}}{3}x_A^2} \right)\\{y_1} - {y_2} = 8\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{4}{3}x_A^3 - \dfrac{{28}}{3}{x_A}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 8\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}x_A^3 - \dfrac{{28}}{3}{x_A} = 8\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = 3\\{x_A} =  - 1\\{x_A} =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \({x_A} = 3 \Rightarrow A\left( {3; - 15} \right) \Rightarrow \left( d \right):\,\,y = 8x - 39\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^4}}}{3} - \dfrac{{14}}{3}{x^2} = 8{\rm{x}} - 39\\ \Leftrightarrow {x^4} - 14{x^2} - 24x + 117 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^3} + 3{x^2} - 5x - 39} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2}\left( {{x^2} + 6x + 13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\,\,\left( {Do\,\,{x^2} + 6{\rm{x}} + 13 > 0} \right)\end{array}\)

Do đó \({x_A} = 3\,\,ktm\).

Tương tự ta xét 2 TH còn lại đều thỏa mãn.

Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.