Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 4} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 16} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu khi \(x = 0\)?

Có \(y' = 8{x^7} + 5\left( {m - 4} \right){x^4} - 4\left( {{m^2} - 16} \right){x^3}\)

Đặt \(g\left( x \right) = 8{x^4} + 5\left( {m - 4} \right)x - 4\left( {{m^2} - 16} \right)\) thì \(y' = {x^3}.g\left( x \right)\)

Theo định nghĩa, x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số y ⇔ Tồn tại h > 0 sao cho

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - h;0} \right)\\y'\left( 0 \right) = 0\\y'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;h} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - h;0} \right)\\g\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;h} \right)\end{array} \right.\) (*)

Ta thấy hàm số g(x) liên tục trên R và \(g'\left( x \right) = 32{x^3} + 5\left( {m - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \alpha  = \dfrac{{5\left( {4 - m} \right)}}{{32}}\) nên g(x) đạt cực tiểu tại x = α

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) > 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = 0\\\alpha  = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4\left( {{m^2} - 16} \right) > 0\\\left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {{m^2} - 16} \right) = 0\\m = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 < m \le 4\)

Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn A