Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + x + 2\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}}} \right) = - {x^3} - x + 2\) có nghiệm \(x \in [ - 1;2]\)?

Xét hàm số \(f(t)=t^3+t+2\) ta có \(f'(x) = 3{t^2} + 1 > 0,\,\,\,\forall t \in R.\)

Do đó hàm số f đồng biến trên R.

Ta có

 \(\begin{array}{l} f\left( {\sqrt[3]{{{f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + m}}} \right) = f\left( { - x} \right)\\ \Leftrightarrow - x = \sqrt[3]{{{f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + m}}\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + {x^3} + m = 0\,\,\,\,\,(1) \end{array}\)

Xét \(h(x) = {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + {x^3} + m\) trên ttoanj [-1;2]

Ta có

 \(\begin{array}{l} h'(x) = 3f'(x).{f^2}\left( x \right) + f'\left( x \right) + 3{x^2}\\ = f'(x)\left[ {3{f^2}\left( x \right) + 1} \right] + 3{x^2} \end{array}\)

Ta có \(f'(x) = 3{x^2} + 1 > 0,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right] \Rightarrow h'(x) > 0,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]\)

Hàm số h(x) đồng biến trân [-1;2] nên 

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} h(x) = h( - 1) = m - 1;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} h(x) = h(2) = m + 1748\)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 

\(\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} h(x).\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} h(x) \le 0\\ \Leftrightarrow h( - 1).h(2) = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1748} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1748 \le m \le 1\\ \Rightarrow S = \left\{ { - 1748; - 1747;...;0;1} \right\} \end{array}\)

Có 1750 giá trị m thỏa mãn