Cho hàm số \(f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}.\) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình \(f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0\) có nghiệm \(x\in \left( 1;16 \right)\

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}.\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có: \(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D;f\left( -x \right)={{2020}^{-x}}-{{2020}^{x}}=-\left( {{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}} \right)=-f\left( x \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}\) là hàm số lẻ.

Lại có:

\(f'\left( x \right)={{2020}^{x}}.\ln 2020-{{2020}^{-x}}.\ln 2020.\left( -x \right)'={{2020}^{x}}.\ln 2020+{{2020}^{-x}}.\ln 2020>0\text{ }\forall x\in D\)

Do đó hàm số \(f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Theo đề bài ta có:

\(f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0\)

\(\Leftrightarrow f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)=-f\left( \log _{2}^{3}x \right)\)

\(\Leftrightarrow f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)=f\left( -\log _{2}^{3}x \right)\) (Do \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ)

Mặt khác hàm số \(f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình có nghiệm duy nhất:

\({{\log }_{2}}x-m=-\log _{2}^{3}x\Leftrightarrow m=\log _{2}^{3}x+{{\log }_{2}}x\)

Đặt \({{\log }_{2}}x=1.\) Với \(x\in \left( 1;16 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;4 \right).\)

Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình:

\(m={{t}^{3}}+t\) có nghiệm \(t\in \left( 0;4 \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\) trên khoảng \(\left( 0;4 \right)\)

Ta có: \(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+t>0\text{ }\forall t\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;4 \right)\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng \(\left( 0;4 \right)\) thì: 0<m<68

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình \(f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0\) có nghiệm \(x\in \left( 1;16 \right)\) là: m=67.