Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có \(f\left( 1 \right)=0\). Biết đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) được cho như hình: Xét hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( 1+\frac{x}{2} \right)+\frac{{{x}^{2}}}{8} \right|\). Đặt M là số điểm cực đại và m là số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)\). Tính giá trị biểu thức \({{M}^{2}}+{{m}^{2}}\)?

Câu hỏi:
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có \(f\left( 1 \right)=0\). Biết đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) được cho như hình:

Xét hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( 1+\frac{x}{2} \right)+\frac{{{x}^{2}}}{8} \right|\). Đặt M là số điểm cực đại và m là số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)\). Tính giá trị biểu thức \({{M}^{2}}+{{m}^{2}}\)?
- A. {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=13.
- B. {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=2.
- C. {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=5.
- D. {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=25.
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A
Xét hàm số \(h\left( x \right)=f\left( 1+\frac{x}{2} \right)+\frac{{{x}^{2}}}{8}\), suy ra \({h}'\left( x \right)=\frac{1}{2}\left[ f\left( 1+\frac{x}{2} \right)+\frac{x}{2} \right]=0\).

Đặt \(1+\frac{x}{2}=t\Rightarrow \frac{x}{2}=t-1\). Khi đó \(h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)+t-1=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\ & t=1 \\ & t=3 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-4 \\ & x=0 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\)

Ta có \(h\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)-0=f\left( 1 \right)=0\). Suy ra \(h\left( x \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=a \\ & x=0 \\ & x=b\,\,\,\,\,\,\left( a<0<b \right) \\ \end{align} \right.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số là

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số \(g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|\) có 3 cực tiểu và 2 cực đại.

Do đó \({{m}^{2}}+{{M}^{2}}=13\).

Chọn A

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ATNETWORK